- Hybride Parallel-/Serienkinematik
- Symbolische Jacobi-Matrix
- Singularitätsgrenzen-Analyse
- Optimierung positiver Seilzugkräfte
ROBOTICS RESEARCH / MATHEMATICAL FRAMEWORK
Mathematische Grundlagen zur Singularitätsanalyse hybrider Seilroboter
Seilgetriebene Roboter bieten hohe Dynamik und große Arbeitsräume, können jedoch ausschließlich Zugkräfte übertragen. Bei hybriden Seil-Serien-Strukturen erfordert die Bestimmung des steuerbaren Arbeitsraums eine präzise Singularitätsanalyse, um Rangverluste der Jacobi-Matrix und Seilschlaffheit auszuschließen.
Interaktives Singularitätsanalyse-Notebook (SymPy & NumPy)
Vollständiges Berechnungs-Notebook zur symbolischen Vektorschleifen-Kinematik, analytischen Jacobi-Rangverlustanalyse und quadratischen Optimierung positiver Seilspannungen über den gesamten Arbeitsraum.
Schleifenschluss-Kinematik
Formuliert gekoppelte kinematische Schleifengleichungen zwischen Gestell-Winden, seriellen Drehgelenken und planarer Plattformpose [x, y, θ].
Symbolische Differentialabbildung
Berechnet die analytische Jacobi-Matrix J(q) mit SymPy und trennt serielle Zwangsbedingungen von Seilzugrichtungen.
Singularitätsgrenzen-Lokus
Kartiert Vorwärts-, Rückwärts- und Struktursingularitäts-Mannigfaltigkeiten, bei denen det(J) = 0 oder σ_min → 0 eintritt.
Positive Seilspannungs-QP
Nutzt Nullraum-Projektion und quadratische Optimierung zur Sicherstellung strikt positiver Seilspannungen (τ_i > 0) außerhalb singulärer Lagen.
hybrid_cable_singularity_analysis.ipynbInteraktiver Kinematik- & Singularitätslöser# Symbolic Kinematics for Hybrid Planar Cable Robot:
# Closed loop: p_platform + R(theta) @ r_i - a_i = l_i * u_i
# Analytical Hybrid Jacobian J(q) = [ J_cables(q) | J_serial(q) ]
import sympy as sp
import numpy as np
# Evaluate determinant for singularity loci (det(J @ J^T) -> 0):
det_J = sp.simplify(J_hybrid.det())
singularity_surface = sp.solve(det_J, (x, y, theta))
# Quadratic Programming for strictly positive cable tensions (tau_i > 0):
# min 0.5 * tau^T @ H @ tau + f^T @ tau
# s.t. J_cables^T @ tau = -W_ext, tau_min <= tau <= tau_max
res_tension = solve_tension_distribution(J_cables, external_wrench, tau_min=5.0)Schleifenschluss-Kinematik
Formuliert die geometrischen Schleifengleichungen zwischen Gestell-Verankerungen, angetriebenen Drehgelenken, Seillängen und der planaren Plattformpose [x, y, θ].
Analytische Herleitung der Jacobi-Matrix
Leitet die differenzielle Abbildung zwischen Gelenkgeschwindigkeiten, Seilwinden und Plattformbewegungen her und trennt geometrische Zwangsbedingungen von Seilzugrichtungen.
Identifikation von Singularitäten & Rangverlust
Erkennt Vorwärts-, Rückwärts- und Struktursingularitäten, bei denen Nullstellen der Determinante zu unkontrollierbaren Freiheitsgraden oder Seildurchhang führen.
Dynamische Modellierung nach Euler-Lagrange
Erfasst Trägheitsmatrizen, Zentrifugal- und Corioliskräfte sowie Gravitationsmomente starre Körper in Kombination mit quadratischer Programmierung zur Seilspannungsoptimierung.
Mathematische Spezifikationen & Kenngrößen
- Plattformbewegung
- Ebene 3-DOF Arbeitsraumkoordinaten (x, y und Drehwinkel θ)
- Antriebstopologie
- Hybridsystem: serielle Drehachsen + antagonistische Seilwinden
- Kinematik
- Nichtlineare Vektorschleifen analytisch und symbolisch gelöst
- Jacobi-Analyse
- Rangbestimmung über Computeralgebra und Singulärwertzerlegung
- Entwicklungsumgebung
- Python, Jupyter Notebook, Google Colab und LaTeX-Dokumentation
- Veröffentlichung
- Basiert auf Fachpublikation (ajeassp.2022.197.208)
Bedeutung für Robotik und Regelungstechnik
Liefert geschlossene mathematische Gleichungen und lauffähige Jupyter-Modelle für eine zuverlässige, singularitätsfreie Bahnplanung in Industrie- und Rehabilitationsrobotern.